{"id":2728,"date":"2022-06-23T04:25:55","date_gmt":"2022-06-22T21:25:55","guid":{"rendered":"https:\/\/example.com\/?p=2728"},"modified":"2023-12-04T13:02:31","modified_gmt":"2023-12-04T06:02:31","slug":"matematika-kelas-11-pembuktian-matematika","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/staging-blog.sirogu.com\/blog\/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika","title":{"rendered":"4 Metode Pembuktian Matematika | Matematika Kelas 11"},"content":{"rendered":"

\"pembuktian<\/em><\/p>\n

\n

Kamu sudah tahu belum kalau ada 4 metode pembuktian dalam matematika, yaitu pembuktian langsung, kontraposisi, kontradiksi, dan induksi matematika. Yuk, kita pelajari!<\/em><\/p>\n

—<\/span><\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

Albert Einstein, seorang fisikawan terkemuka, pernah <\/span>lho<\/em> mempertanyakan, kenapa ya teori matematika yang padahal hanya berasal dari pikiran manusia semata, bukan dari pengalaman, bisa sangat sesuai dan berlaku untuk benda-benda di dunia nyata? Kalau kita ambil contoh, fisika misalnya, ilmu ini bisa diterima semua orang karena pembuktiannya disaksikan lewat eksperimen. Kalau matematika? <\/span>Nah<\/em>, sebenarnya teori matematika juga selalu bisa dibuktikan dan sesuai dengan logika.<\/span><\/p>\n

Logika dalam matematika? Pembuktian? Gimana tuh <\/em>maksudnya? Logika dalam matematika bisa diingat kembali materinya pada artikel tentang logika matematika<\/a><\/strong>.<\/span> Kalau pembuktian, ada beberapa cara untuk membuktikan dalam matematika, yaitu pembuktian langsung<\/span>, kontraposisi<\/span>, kontradiksi<\/span>, dan induksi matematika<\/span>. Kita cek satu-satu di artikel berikut ini, ya!<\/p>\n

 <\/p>\n

1. Pembuktian Langsung<\/span><\/h2>\n

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju<\/span>. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Gampangnya <\/span>sih<\/em>, \u201ckalau A maka B dan kalau B maka C\u201d. <\/span>Nah<\/em>, untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Supaya nggak bingung, kita langsung coba buktikan pernyataan ini.<\/span><\/p>\n

\u201cJumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap\u201d<\/span><\/p>\n

Ya… kalau kita pikir-pikir, pasti sih, 2 + 2 = 4 dan 4 + 10 = 14. Tapi, gimana ya buat bisa membuktikan kalau pernyataan itu berlaku buat semua bilangan genap? Pembuktiannya begini:<\/p>\n

Jadi, pertama kamu definisikan dulu <\/span>tuh<\/em> bilangan genap itu seperti apa. Misalnya, ada bilangan genap sembarang m dan n. Dari definisi bilangan genap, m dan n dapat ditulis:<\/span><\/p>\n

m = 2k, dengan k adalah suatu bilangan bulat.<\/span><\/p>\n

n = 2i, dengan i adalah suatu bilangan bulat.<\/span><\/p>\n

Bila definisinya sudah benar, kita ke pernyataan selanjutnya. Karena kita ingin membuktikan jumlah dua bilangan genap, maka berdasarkan definisi di atas, jumlah dua bilangan genap bisa kita jabarkan seperti ini:<\/span><\/p>\n

m + n = 2k + 2i<\/span><\/p>\n

Kemudian, kamu juga butuh sedikit memanipulasi penjumlahan itu agar bisa mendapat bentuk yang diinginkan. <\/span>m + n = 2k + 2i bisa kita ubah menjadi 2 (k + i), dengan (k + i) juga bilangan bulat.<\/span><\/p>\n

m + n = 2k + 2i = 2 (k + i), dengan (k + i) bilangan bulat.<\/span>   <\/span><\/p>\n

Setelah itu, lanjut deh<\/em> ke kesimpulan. Ingat lho<\/em>, kesimpulannya harus berdasarkan pernyataan sebelumnya. m + n dapat ditulis menjadi 2 kali suatu bilangan bulat (k + i). Sesuai definisi bilangan genap, maka m + n merupakan bilangan genap juga. Apakah pembuktian ini berlaku untuk seluruh bilangan genap? Iya, karena di awal sudah disebutkan kalau m dan n adalah bilangan genap sembarang. Jadi, terbukti, ya.<\/span><\/p>\n

Baca juga: Rumus Bunga Majemuk dan Cara Menghitungnya<\/a><\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

2. Kontraposisi<\/span><\/h2>\n

Kontraposisi adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung. Kontraposisi memanfaatkan prinsip logika matematika, yaitu:<\/span><\/p>\n

p \u2192 q \u2261 \u223cq \u2192 \u223cp<\/span><\/p>\n

Artinya, kalau mau membuktikan pernyataan p akan menghasilkan pernyataan q itu benar, maka buktikan aja pernyataan bukan q maka menghasilkan bukan p. Bingung, ya? Nah, untuk memahami lebih lanjut, coba deh buktikan:<\/p>\n

\u201cBila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap, maka n bilangan ganjil\u201d<\/span><\/p>\n

Gimana nih <\/em>membuktikannya pakai kontraposisi? Misalnya, pernyataan p adalah 7n + 9 bilangan genap, dan pernyataan q adalah n bilangan ganjil. Maka, yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9 bukan bilangan genap (bilangan ganjil)<\/strong>. Jadi, negasi dari kebalikannya, ya. Penyelesaian lebih lanjutnya begini:<\/p>\n

Misalkan ada bilangan genap sembarang n. Dari definisi bilangan genap, n dapat dinyatakan sebagai berikut:<\/p>\n

n = 2k, dengan k bilangan bulat.<\/p>\n

Selanjutnya, karena n = 2k, maka 7n + 9 bisa dituliskan menjadi 7n + 9 = 7(2k) + 9 atau 2 (7k) + 9.<\/p>\n

\"contoh<\/p>\n

Nah<\/em>, 7k + 4 sudah pasti merupakan bilangan bulat juga karena di awal, kita memisalkan k adalah bilangan bulat. 7k + 4 bisa dimisalkan dengan m, sehingga:<\/p>\n

2(7k) + 9 = 2m + 1, dengan m bilangan bulat.<\/p>\n

Sesuai definisi bilangan ganjil, maka 2(7k) + 9 atau 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Terbukti kan bila n bukan bilangan ganjil, maka 7n + 9 juga bukan bilangan genap. Secara <\/span>nggak<\/em> langsung, dapat disimpulkan <\/span>deh<\/em> bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap maka n bilangan ganjil, hehehe…<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

3. Kontradiksi<\/span><\/h2>\n

Kontradiksi ini juga termasuk pembuktian tidak langsung. Kita memanfaatkan prinsip logika matematika, yaitu:<\/span><\/p>\n

Jika p \u2192 q bernilai benar padahal q salah, maka p salah<\/span><\/strong><\/p>\n

Hmm gimana tuh maksudnya? Coba deh kita buktikan pernyataan ini dengan kontradiksi.<\/p>\n

\u201cBila n bilangan bulat dan n bilangan genap, maka 7n + 9 bilangan ganjil\u201d<\/span><\/p>\n

Nah<\/em>, kita misalkan dulu pernyataan p adalah n bilangan genap dan pernyataan q adalah 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Maka, dengan kontradiksi, kita buktikan pernyataan n bukan bilangan genap (bilangan ganjil), maka untuk 7n + 9 adalah bilangan ganjil benar akan muncul suatu kontradiksi<\/strong>. Coba deh perhatikan penyelesaiannya di bawah ini:<\/p>\n

Misalkan ada bilangan ganjil sembarang n. Dari definisi bilangan ganjil, n dapat dinyatakan sebagai berikut:<\/p>\n

n = 2k + 1, dengan k bilangan bulat.<\/p>\n

Karena n = 2k + 1, maka 7n + 9 dapat dituliskan menjadi:<\/p>\n

\"contoh<\/p>\n

7k + 5 pastinya merupakan bilangan bulat juga karena k adalah bilangan bulat. Kita bisa misalkan 7k + 5 dengan m, sehingga:<\/p>\n

7n + 9 = 14k + 10 = 2m<\/p>\n

Nah<\/em>, 14k + 10 atau 7n + 9 dapat dinyatakan dalam 2 kali suatu bilangan bulat. Padahal, itu merupakan definisi bilangan genap. Berarti, kontradiksi dengan asumsi awal yang menyatakan 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Itu artinya, asumsi awal n adalah bilangan ganjil, salah.<\/p>\n

Baca juga: Konsep Limit Fungsi Aljabar dan Sifat-Sifatnya<\/a><\/p>\n

Lihat kan, ternyata ada kontradiksi bila n adalah bilangan ganjil? Maka, secara tidak langsung, pernyataan “bila n bilangan genap, maka 7n + 9 bilangan ganjil” benar.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

4. Induksi Matematika<\/span><\/h2>\n

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli. Untuk melakukan pembuktian menggunakan induksi matematika, ada langkah-langkahnya, nih<\/em>. Bagaimana langkah-langkah melakukan induksi matematika?<\/span><\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

\"langkah-langkah<\/p>\n

 <\/p>\n

Waduh, maksudnya apa tuh<\/em> ya langkah-langkah di atas. Oke, biar nggak bingung, mending langsung aja kita aplikasikan ke contoh soal di bawah ini.<\/p>\n

Buktikan deret 1 + 2 + 3 + … + n = 1\/2 n(n+1)<\/span> <\/span><\/p>\n